Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 CABANA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

Anterior Siguiente
6.6. Usando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales:
b) ∫θ2sin⁡(θ)dθ\int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta

Respuesta

⚠️ Vuelvo a repetir por las dudas, para resolver este ejercicio es clave que hayas visto primero la clase de integración por partes!

Ahora vamos a resolver la integral 

∫θ2sin⁡(θ)dθ\int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta

Esta integral también sale por partes. Recordemos la fórmula:

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' En este caso, tomamos: g=θ2→g′=2θ g = \theta^{2} \rightarrow g' = 2\theta
f′=sin⁡(θ)→f=−cos⁡(θ) f' = \sin(\theta) \rightarrow f = -\cos(\theta) Reemplazamos en la fórmula de partes: ∫θ2sin⁡(θ)dθ=θ2(−cos⁡(θ))−∫(−cos⁡(θ))(2θ)dθ \int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = \theta^{2} (-\cos(\theta)) - \int (-\cos(\theta))(2\theta) d \theta
∫θ2sin⁡(θ)dθ=−θ2cos⁡(θ)+2∫θcos⁡(θ)dθ \int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \int \theta \cos(\theta) d \theta

La nueva integral que nos quedó ahí, ∫θcos⁡(θ)dθ\int \theta \cos(\theta) d \theta, también la resolveremos por partes. De hecho lo acabamos de hacer en el item anterior jaja y vimos que daba: 

∫θcos⁡(θ)dθ=θ⋅sin⁡(θ)+cos⁡(θ) \int \theta \cos(\theta) d \theta = \theta \cdot \sin(\theta) + \cos(\theta)

(sólo cambia la variable, que en vez de ser xx es θ\theta, lo ves?)

Reemplazamos entonces en nuestra integral:

∫θ2sin⁡(θ)dθ=−θ2cos⁡(θ)+2∫θcos⁡(θ)dθ= −θ2cos⁡(θ)+2⋅[θ⋅sin⁡(θ)+cos⁡(θ)]+C \int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \int \theta \cos(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \cdot [\theta \cdot \sin(\theta) + \cos(\theta)] + C

Por lo tanto, el resultado es

∫θ2sin⁡(θ)dθ= −θ2cos⁡(θ)+2⋅[θ⋅sin⁡(θ)+cos⁡(θ)]+C \int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \cdot [\theta \cdot \sin(\theta) + \cos(\theta)] + C 
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.